۱_ به دو طرف تساوی عددی زیر عددهایی را مانند نمونه اضافه کنید. آیا باز هم تساوی برقرار است؟ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
بله، در تمام موارد با اضافه کردن یک عدد یکسان به دو طرف تساوی، تساوی همچنان برقرار است.
- **برای $-۷$:**
$$۴ + (-۷) = -۳ \quad , \quad ۴ + (-۷) = -۳ \implies -۳ = -۳$$ (تساوی برقرار است)
- **برای $+۱.۵$:**
$$۴ + ۱.۵ = ۵.۵ \quad , \quad ۴ + ۱.۵ = ۵.۵ \implies ۵.۵ = ۵.۵$$ (تساوی برقرار است)
- **برای $-\frac{۲}{۳}$:**
$$۴ - \frac{۲}{۳} = ۳\frac{۱}{۳} \quad , \quad ۴ - \frac{۲}{۳} = ۳\frac{۱}{۳} \implies ۳\frac{۱}{۳} = ۳\frac{۱}{۳}$$ (تساوی برقرار است)
**نتیجه‌گیری:**
از این فعالیت نتیجه می‌گیریم که **اگر به دو طرف یک تساوی (معادله)، یک مقدار یکسان اضافه یا از آن کم کنیم، تساوی همچنان برقرار خواهد ماند.** این ویژگی به «خاصیت جمعی تساوی» معروف است.
۲_ دو طرف تساوی زیر را در عددهای مختلف ضرب کنید. آیا باز هم تساوی برقرار است؟
بله، با ضرب کردن یک عدد یکسان در دو طرف تساوی، تساوی همچنان برقرار است.
- **برای $۳$ (مثال):**
$$۳ \times ۸ = ۲۴ \quad , \quad ۳ \times ۸ = ۲۴ \implies ۲۴=۲۴$$ (تساوی برقرار است)
- **برای $-۲.۱$:**
$$۸ \times (-۲.۱) = -۱۶.۸ \quad , \quad ۸ \times (-۲.۱) = -۱۶.۸ \implies -۱۶.۸=-۱۶.۸$$ (تساوی برقرار است)
- **برای $۱.۵$:**
$$۸ \times ۱.۵ = ۱۲ \quad , \quad ۸ \times ۱.۵ = ۱۲ \implies ۱۲=۱۲$$ (تساوی برقرار است)
- **برای $\frac{۳}{۴}$:**
$$۸ \times \frac{۳}{۴} = ۶ \quad , \quad ۸ \times \frac{۳}{۴} = ۶ \implies ۶=۶$$ (تساوی برقرار است)
**نتیجه‌گیری:**
نتیجه می‌گیریم که **اگر دو طرف یک تساوی (معادله) را در یک عدد غیر صفر یکسان ضرب (یا بر آن تقسیم) کنیم، تساوی همچنان برقرار خواهد ماند.** این ویژگی به «خاصیت ضربی تساوی» معروف است.
۳_ توضیح دهید که در هر مرحله چگونه از دو نتیجهٔ بالا استفاده شده است تا معادله حل شود.
حل این معادله در دو مرحله و با استفاده از دو خاصیت اصلی تساوی‌ها انجام شده است:
**مرحله اول: $۲x - ۱ = ۷ \rightarrow ۲x = ۸$**
- **توضیح:** در این مرحله، برای از بین بردن $-۱$ در سمت چپ معادله و جدا کردن جمله شامل $x$، عدد **$+۱$** به **هر دو طرف تساوی اضافه شده است**. این کار بر اساس **خاصیت جمعی تساوی** (نتیجه سؤال ۱) انجام می‌شود که می‌گوید اگر مقدار یکسانی را به دو طرف معادله اضافه کنیم، تساوی برقرار می‌ماند.
$$۲x - ۱ + ۱ = ۷ + ۱ \implies ۲x = ۸$$
**مرحله دوم: $۲x = ۸ \rightarrow x = ۴$**
- **توضیح:** در این مرحله، برای از بین بردن ضریب $۲$ از کنار $x$ و تنها کردن آن، **هر دو طرف تساوی در عدد $\frac{۱}{۲}$ ضرب شده‌اند** (که معادل تقسیم بر ۲ است). این کار بر اساس **خاصیت ضربی تساوی** (نتیجه سؤال ۲) انجام می‌شود که می‌گوید اگر دو طرف معادله را در یک عدد یکسان ضرب کنیم، تساوی برقرار می‌ماند.
$$\frac{۱}{۲} \times ۲x = \frac{۱}{۲} \times ۸ \implies x = ۴$$
معادله‌های زیر را حل کنید.
برای حل هر معادله، هدف ما این است که با استفاده از خواص تساوی، متغیر $x$ را در یک طرف معادله تنها کنیم.
- **$۳+۴x=۱۱$**
$$۴x = ۱۱ - ۳ \implies ۴x = ۸ \implies x = \frac{۸}{۴} \implies \boldsymbol{x=۲}$$
- **$x-۶=۱۰$**
$$x = ۱۰ + ۶ \implies \boldsymbol{x=۱۶}$$
- **$۳x-۴=x$**
$$۳x - x = ۴ \implies ۲x = ۴ \implies x = \frac{۴}{۲} \implies \boldsymbol{x=۲}$$
- **$۲x-۴=x$**
$$۲x - x = ۴ \implies \boldsymbol{x=۴}$$
- **$۹=۴x-۷$**
$$۹ + ۷ = ۴x \implies ۱۶ = ۴x \implies x = \frac{۱۶}{۴} \implies \boldsymbol{x=۴}$$
- **$-۸=۲x+۴$**
$$-۸ - ۴ = ۲x \implies -۱۲ = ۲x \implies x = \frac{-۱۲}{۲} \implies \boldsymbol{x=-۶}$$
